灘の二日目はこんな問題だ！

今回は珍しく２日目をとりあげます。
算数の２日目、2016年の大問１、ままこ立てと呼ばれる問題です。

御存じない方も多いと思いますが、灘中は算数が２日あります。
一日目が答えのみ、だいたい１２問くらい。昔は１５とかありました。
二日目はもっとハードな問題が並び、５問で近年は安定しています。
これは答えのみではなく、計算・思考過程が必要な問題もあります。


で、これなんですけど…
ちなみに灘の算数は１．２日目、ともに１００点満点で６０分です。
つまりこれを１２分で解きます。











さて、実はこの一問目は比較的とっつきやすい問題でした。
まず、１をカットして２を後ろへ、３をカットして４を後ろへ…としていきますので、
この操作を中二病くさく「operation1」とすると、奇数がなくなり、偶数のみが残ります。

operation1…奇数がなくなり、偶数が残る。回数は2016÷2=1008回

で、1009回目の操作を聞いていますので、最初にある「２」を取り除くことになります。

operation2は、２を取り除いて４を後ろに回し、６を取り除いて８を後ろに回し…なので、
取り除くのは４で割って２余る数、残るのは４の倍数になります。

operation2…４で割って２余る数がなくなり、４の倍数が残る。回数は1008÷2=504回

で、続けて書いてみましょう。
operation3は、４を取り除いて８を後ろに回し、１２を取り除いて１６を後ろに回し…なので、
取り除くのは８で割って４余る数、残るのは８の倍数になります。

operation3…８で割って４余る数がなくなり、８の倍数が残る。回数は504÷2=252回

規則性が見えてきました。 
operation4…１６で割って８余る数がなくなり、１６の倍数が残る。回数は252÷2=126回
ちなみにここで1000が消えます。1000は1000÷16=62・・・8なので、63回目に消えます。
よって、1008+504+252+63=1827回目です。

operation5…３２で割って１６余る数がなくなり、３２の倍数が残る。回数は126÷2=63回

operation6は注意が必要です。
32,64,96,108,140,172,・・・・1984,・・・・2016が残っています。
ここで、32を取り除いて64を後ろへ、96を取り除いて108を後ろへ…なので、
64で割って32余る数がなくなり、64の倍数が残ります。2016は64で割って32余る数なので、ここで消えます。
これが32回目の操作です。
operation6…64で割って32余る数がなくなり、64の倍数が残る
operation7…128で割って64余る数がなくなり、128の倍数が残る
あとは書き出します。128の倍数なんてそうはないですから。

いやー
厳しい問題ですねえ・・・